结果虽极重要，但向为从事分析人类理性之人所忽视，已彼等所有一切推断，亦正与此事实相反。彼等见及一切数学推理依据矛盾律进行(此为一切必然的正确性之性质所要求者)，遂以为数学之基本命题，亦能由矛盾律知其真确。此实一谬见。盖综合的命题虽能依矛盾律认知之，然须在“别有一综合的命题为其前提，而视为自此别一命题所推论来者”之时始然耳，至综合的命题自身则绝不能由矛盾律认知之也。

首宜注意者，所严格称为数学的命题，常为先天的判断而非经验的；盖因其具有不能自经验得来之必然性。设此点为人所否认，则我之论述愿限于纯粹数学，盖即此纯粹数学之概念，已含有不包含经验的知识而纯为纯粹先天的知识之意义。

吾人最初能以7＋5=12之命题视为纯然分析的命题，以为由矛盾律自“七与五之和”一概念中推演而来。但吾人若更详加审察，则将见及此“七与五之和”一概念中，只含有二数连结为一之一事实，其中并未思及连结此二数之单一数为何数。仅思七与五之连结，决不能谓为已思及十二之概念；且即尽我之能以分析我所有此可能的和数之概念，亦绝不能在其中得十二之数。吾人须出此等概念之外而求助于“与二数中之一相应之直观”，例如吾人之五指，或(如昔格内尔之算术中所为)五点，即以此直观中所与之五单位，逐一加于七之概念上。盖吾人先取七数，又以“成为直观之五指”代五之概念，于是将我先所聚为五数之各单位，逐一加于七数上，借此手指形象之助，而后能成十二之数。至五之必须加于七上，我已在和数等于七加五之概念中思及之，但其中并不含有和数等于十二之意义。故算术的命题常为综合的。

吾人如采用较大数目，则此事当更明显。盖在较大数目时，愈见吾人任令如何穷究概念，若仅分析而不借助于直观，则决不能发见和数之为何数。

纯粹几何学之基本命题，同一非分析的。“两点间之直线为最短线”一命题，乃综合的命题。盖因“直”之概念并不包含“量”，而只表示其“质”。此最短之概念，纯为所加增者，任令如何分析，亦不能自直线之概念中得之。放必须求之直观；唯由直观之助，综合始可能。使吾人通常信为“此种必然的判断之宾词已包含在概念中，因而此判